資料圖1

資料圖2

資料圖3

角是幾何圖形中最重要的元素，是判斷三角形全等、三角形相似的重要條件，而圓的旋轉(zhuǎn)不變性和對(duì)稱性，又賦予了角極強(qiáng)的靈活性，使得角之間的相互轉(zhuǎn)化成為了解題的關(guān)鍵要素。

下面主要介紹圓心角、圓周角、圓內(nèi)接四邊形的外角與內(nèi)對(duì)角之間的相互轉(zhuǎn)化問題。特別指出在理解圓中角時(shí)，要注意角的頂點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、角的兩邊與圓的位置關(guān)系;在運(yùn)用圓中角時(shí)，要關(guān)注弧的中介作用。基本圖形如下：

(1)一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半;

(2)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;

(3)直徑所對(duì)的圓周角是90°;

(4)圓內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對(duì)角;

(5)圓內(nèi)接四邊形，一條邊所對(duì)的兩個(gè)圓周角相等;

(6)如圖，像∠APB這樣頂點(diǎn)在圓內(nèi)，兩邊都與圓相交的角我們定義為圓內(nèi)角，由三角形外角的性質(zhì)可以得到∠APB=∠ADB+∠CBD，即圓內(nèi)角可以通過圓周角進(jìn)行轉(zhuǎn)換，實(shí)質(zhì)上∠APB=■(弧AB的度數(shù)+弧CD的度數(shù));

(7)如圖，像∠APB這樣頂點(diǎn)在圓外，兩邊都與圓相交的角我們定義為圓外角，由三角形外角的性質(zhì)可以得到∠APB=∠ADB-∠CBD，即圓外角可以通過圓周角進(jìn)行轉(zhuǎn)換，實(shí)質(zhì)上∠APB=■(弧AB的度數(shù)弧-CD的度數(shù))。

例1.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠OAB=28°，則∠C的大小為( )

A.28° B.56° C.60° D.62°

此題為2009年天津市中考題數(shù)學(xué)選擇第9題，具體解法為連結(jié)OB，△OAB為以圓心為頂點(diǎn)的等腰三角形，則∠OAB=∠OBA=28°，所以∠AOB=124°，結(jié)合基本圖形(1)，所以∠C=62°。

例2.已知，O是△ABC的外心，∠BOC=130°，求∠A的度數(shù)。

解：分兩種情況討論：

(1)當(dāng)O在△ABC內(nèi)部時(shí)：

∠A=■∠BOC=■×130°=65°

(2)當(dāng)O在△ABC外部時(shí)：由∠BOC=130°，得劣弧■的度數(shù)130°，則■的度數(shù)=360°-130°=230°

∴∠A=115°

綜上所述∠A=65°或115°

此題意在考查基本圖形(1)及圓中一條弦所對(duì)的圓周角有兩種情況，提醒同學(xué)們特別注意由圓的特性導(dǎo)致的雙解題型。

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