41、關(guān)于西摩松線(xiàn)的定理1：△ABC的外接圓的兩個(gè)端點(diǎn)P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線(xiàn)互相垂直，其交點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。

　　42、關(guān)于西摩松線(xiàn)的定理2(安寧定理)：在一個(gè)圓周上有4點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，再作其余一點(diǎn)的關(guān)于該三角形的西摩松線(xiàn)，這些西摩松線(xiàn)交于一點(diǎn)。

　　43、卡諾定理：通過(guò)△ABC的外接圓的一點(diǎn)P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線(xiàn)PD、PE、PF，與三邊的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)。

　　44、奧倍爾定理：通過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)引互相平行的三條直線(xiàn)，設(shè)它們與△ABC的外接圓的交點(diǎn)分別是L、M、N，在△ABC的外接圓取一點(diǎn)P，則PL、PM、PN與△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)

　　45、清宮定理：設(shè)P、Q為△ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點(diǎn)，P點(diǎn)的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是U、V、W，這時(shí)，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)

　　46、他拿定理：設(shè)P、Q為關(guān)于△ABC的外接圓的一對(duì)反點(diǎn)，點(diǎn)P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是U、V、W，這時(shí)，如果QU、QV、QW與邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)分別為ED、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)。(反點(diǎn)：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長(zhǎng)線(xiàn)的兩點(diǎn)，如果OC2=OQ×OP則稱(chēng)P、Q兩點(diǎn)關(guān)于圓O互為反點(diǎn))

　　47、朗古來(lái)定理：在同一圓同上有A1B1C1D14點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，在圓周取一點(diǎn)P，作P點(diǎn)的關(guān)于這4個(gè)三角形的西摩松線(xiàn)，再?gòu)腜向這4條西摩松線(xiàn)引垂線(xiàn)，則四個(gè)垂足在同一條直線(xiàn)上。

　　48、九點(diǎn)圓定理：三角形三邊的中點(diǎn)，三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)[連結(jié)三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線(xiàn)段的中點(diǎn)]九點(diǎn)共圓[通常稱(chēng)這個(gè)圓為九點(diǎn)圓[nine-pointcircle]，或歐拉圓，費(fèi)爾巴哈圓。

　　49、一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n-1個(gè)點(diǎn)的重心，向該圓周的在其余一點(diǎn)處的切線(xiàn)所引的垂線(xiàn)都交于一點(diǎn)。

　　50、康托爾定理1：一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n-2個(gè)點(diǎn)的重心向余下兩點(diǎn)的連線(xiàn)所引的垂線(xiàn)共點(diǎn)。

　　51、康托爾定理2：一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N兩點(diǎn)，則M和N點(diǎn)關(guān)于四個(gè)三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個(gè)的兩條西摩松的交點(diǎn)在同一直線(xiàn)上。這條直線(xiàn)叫做M、N兩點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線(xiàn)。

　　52、康托爾定理3：一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線(xiàn)、L、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線(xiàn)、M、L兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線(xiàn)交于一點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點(diǎn)。

　　53、康托爾定理4：一個(gè)圓周上有A、B、C、D、E五點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個(gè)康托爾點(diǎn)在一條直線(xiàn)上。這條直線(xiàn)叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線(xiàn)。

　　54、費(fèi)爾巴赫定理：三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切。

　　55、莫利定理：將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線(xiàn)相得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形。這個(gè)三角形常被稱(chēng)作莫利正三角形。

　　56、牛頓定理1：四邊形兩條對(duì)邊的延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)所連線(xiàn)段的中點(diǎn)和兩條對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，三條共線(xiàn)。這條直線(xiàn)叫做這個(gè)四邊形的牛頓線(xiàn)。

　　57、牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線(xiàn)。

　　58、笛沙格定理1：平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)(A和D、B和E、C和F)的連線(xiàn)交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長(zhǎng)線(xiàn)相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線(xiàn)。

　　59、笛沙格定理2：相異平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)(A和D、B和E、C和F)的連線(xiàn)交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長(zhǎng)線(xiàn)相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線(xiàn)。

　　60、布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對(duì)的頂點(diǎn)A和D、B和E、C和F，則這三線(xiàn)共點(diǎn)。

　　61、巴斯加定理：圓內(nèi)接六邊形ABCDEF相對(duì)的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延長(zhǎng)線(xiàn)的)交點(diǎn)共線(xiàn).
      

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