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來源：初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(初二分冊(cè)) 2005-09-08 22:28:24
二次根式的概念、性質(zhì)以及運(yùn)算法則是根式運(yùn)算的基礎(chǔ)，在進(jìn)行根式運(yùn)算時(shí)，往往用到絕對(duì)值、整式、分式、因式分解，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等有關(guān)知識(shí)與解題方法，也就是說，根式的運(yùn)算，可以培養(yǎng)同學(xué)們綜合運(yùn)用各種知識(shí)和方法的能力．下面先復(fù)習(xí)有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，然后進(jìn)行例題分析．
二次根式的性質(zhì)：
二次根式的運(yùn)算法則：
設(shè)a，b，c，d，m是有理數(shù)，且m不是完全平方數(shù)，則當(dāng)且僅
當(dāng)兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，如果它們的積不含有二次根式，則這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．
例1 化簡(jiǎn)：
法是配方去掉根號(hào)，所以
因?yàn)?/FONT>x-2＜0，1-x＜0，所以
原式=2-x+x-1=1．
＝a-b-a+b-a+b=b-a．
說明 若根式中的字母給出了取值范圍，則應(yīng)在這個(gè)范圍內(nèi)進(jìn)行化簡(jiǎn)；若沒有給出取值范圍，則應(yīng)在字母允許取值的范圍內(nèi)進(jìn)行化簡(jiǎn)．
例2 化簡(jiǎn)：
分析 兩個(gè)題分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，這樣計(jì)算化簡(jiǎn)較繁．我們可以先將分母因式分解后，再化簡(jiǎn)．
解法1 配方法．
配方法是要設(shè)法找到兩個(gè)正數(shù)x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，則
解法2 待定系數(shù)法．
例4 化簡(jiǎn)：
(2)這是多重復(fù)合二次根式，可從里往外逐步化簡(jiǎn)．
分析 被開方數(shù)中含有三個(gè)不同的根式，且系數(shù)都是2，可以看成
解 設(shè)
兩邊平方得
②×③×④得
(xyz)2=5×7×35=352．
因?yàn)?/FONT>x，y，z均非負(fù)，所以xyz≥0，所以
xyz=35．⑤
⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z顯然滿足①，所以
解 設(shè)原式=x，則
解法1 利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)來解．
將方程左端因式分解有
(x-4)(x2＋4x＋10)＝0．
因?yàn)?/P>
x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0，
所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4．
解法2
說明 解法2看似簡(jiǎn)單，但對(duì)于三次根號(hào)下的拼湊是很難的，因此本題解法1是一般常用的解法．
例8 化簡(jiǎn)：
解(1)
本小題也可用換元法來化簡(jiǎn)．
解 用換元法．
解 直接代入較繁，觀察x，y的特征有
所以
3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2-11xy
＝3(x＋y)2-11xy
＝3×102-11×1＝289．
例11 求
分析 本題的關(guān)鍵在于將根號(hào)里的乘積化簡(jiǎn)，不可一味蠻算．
解 設(shè)根號(hào)內(nèi)的式子為A，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a＋b)(a-b)＝a2-b2，所以
A＝(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(2256＋1)＋1
＝(22-1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(2256＋1)＋1
＝(24-1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)…(2256＋1)＋1
＝…＝(2256-1)(2256＋1)＋1
＝22×256-1＋1＝22×256，
的值．
分析與解 先計(jì)算幾層，看一看有無(wú)規(guī)律可循．
解 用構(gòu)造方程的方法來解．設(shè)原式為x，利用根號(hào)的層數(shù)是無(wú)限的特點(diǎn)，有
兩邊平方得
兩邊再平方得
x4-4x2＋4＝2＋x，所以x4-4x2-x＋2＝0．
觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x＝-1，2時(shí)，方程成立．因此，方程左端必有因式(x＋1)(x-2)，將方程左端因式分解，有
(x＋1)(x-2)(x2＋x-1)＝0．
解 因?yàn)?/FONT>
練習(xí)七
1．化簡(jiǎn)：
2．計(jì)算：
3．計(jì)算：
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